Por lo que dices, tiene pinta de que se trata de la batería. El hecho de que veas las luces con buena intensidad no es síntoma de que la batería tenga la fuerza suficiente para arrancar el motor. Tendrías que comprobarlo con un tensiómetro para saber el valor que te ofrece al intentar poner en marcha el quad.
También podría ser un mal contacto.
Yo empezaría por comprobar la batería y luego ves descartando otras cosas. Pon un puente con las pinzas de un coche y a ver si hay suerte.
Un saludo.
